银行卡密码一般只有 6 位数，我写了一个程序，验证了所有的六位数均会在前 1000 多万位出现。其中，你的银行卡密码会有 60%的概率在前 100 万位找到，90%的概率在前 230 万位找到。最后一个六位数是 569540，在第 14118307-14118312 位出现。
然后我做出了如下的图像，横坐标是包含六位数组合的个数（1-100 万），纵坐标是对应的位数。做出的图像如下
我们可以看到，全部组合 100 万个需要 1400 多万位，而所有组合首先出现的位置的平均值 1000882 位。曲线呈现暴涨趋势，毕竟这是一个收集问题，越往后，收集新的六位数的难度越大。
当然了，银行卡密码也可能是其他位数，比如如果是 4 位数的话，根据我的程序，前 10 万位就全部包括了，最后一个出现的组合是 6716，在第 99846-99849 位。如果位数更多，那么需要的位数就越多。但是我认为，不论你多少位，都能在圆周率中找到，虽然这个还没有被严格证明。
从原因分析，我觉得π很大的概率是正规数（虽然还没有得到严格的数学上的证明）。正规数意味着它是无限不循环小数，它的每个数字的出现都是完全随机的而且概率相同，所以任何一串数字的组合的出现，都是有可能的。
于是，我自己又编写了另外一个程序，研究圆周率前 100 万位数字。
首先统计 0-9 出现的频率。
我们发现，前 100 万位里，0-9 数字出现的个数大致都为 10 万次，从直观上看，可以认为 0 到 9 出现的概率是相等的。
当然，作为理科生，仅仅从直观看是不够的，我们还需要从统计的方面来考虑，它是不是在误差范围内？ 这里，我采用了卡方检验。
通过计算，我们得出 chai 的平方为 5.51。通过查表，在自由度为 9 的情况下，要想证明其不满足 0-9 的均匀分布，chai 平方值必须大于 16.9（95%确信度）。因此，可以说，其落在误差范围内。
然后，仅仅证明各个数字出现的概率相同是不够的。比如，0.1234567890123456789....，这个数字是无限循环小数，也满足各个数字出现的概率相同，但是它们之间关联都很紧密，所以显然不能"包含整个宇宙"。我们还需要验证，数字与数字之间是没有关联的。
这里我采用的方法是，计算固定间距下，圆周率数字的相关系数。具体的计算方法如下：假设π的小数点后第 i 位是 X_i，容易知道，X_1=1, X_2=4, X_3=1, X_4=5..... 因此在间距为 k 下，相关系数的计算公式如下：
这里, N 取的越大越好，我这里取的 10 万。而则代表了所有数字的平均数，这里约等于 4.5。那么经过计算，我们取不同的间距 k，画出相关系数与 k 的关系图。
因为相关系数的范围是 0-1 之间，越大，代表线性相关性越强，我们可以看到，不论 k 取多大，其在－0.01-0.01 之间，而且在 0 之上和 0 之下的分布大致相等，说明线性相关极其微弱，且在 0 附近震荡。那么在圆周率下，至少间距在 1000 之内，数字之间没什么相关性。如果能计算无穷多的位的话，我们甚至可以将其作为一个随机数产生器。 当然这个检验方法也是不充分的，但是至少能说明一些问题。
对于有理数，那么相关性就很强了。比如我们计算 1/2233，用同样第方法画出线性相关图。 我们发现，相关系数很强，而且有一定的周期，和之前的截然不同。
那么通过均匀分布检验，和相关性检验两个方面的实验，虽然不能严格证明，但是我们起码可以在一定程度上，验证了π的各个数字出现的概率是相等且随机的。数学上称这样的数为"正规数"，至少我们能说明π是正规数的概率很大。
因此，对于任意的一串数字组合，都有一定的概率会出现在某位之后，更不用说是银行卡密码了。 但是这并不是一个稀奇的事情。因为满足各个数字出现的概率相等且随机的无理数太多太多了。根号 2，根号 3，e，ln 2, sin(10)，等等等等，都可能包含了所有数字组合（虽然还没有完全得到证明）。
毕竟，你让一只寿命无穷的猴子，不停的在键盘上乱敲，总有一天，它会敲出林肯的《葛底斯堡演讲》。
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